チェバの定理とメネラウスの定理 ― 覚え方・証明・使い分け
チェバの定理とメネラウスの定理は、三角形の辺の比をすばやく求めるための強力な道具です。式の形がよく似ているので混乱しがちですが、「三角形をひとまわりする」という共通の覚え方と、どんな図で使うかを押さえれば迷わなくなります。
この記事の内容
1. チェバの定理
覚え方：頂点Bから出発して、B→P→C→Q→A→R→B と三角形をひとまわりしながら「頂点→分点」「分点→頂点」の長さを交互に分子・分母に置きます。どの頂点から始めても、同じ向きにひとまわりすれば正しい式になります。
なぜ成り立つか（面積比で証明）
高さが共通な三角形の面積比は底辺の比です。△ABPと△ACPの面積比はBP：PC、△OBPと△OCPもBP：PC。その差をとると、△ABO：△ACO＝BP：PCになります。同じように CQ：QA＝△BCO：△BAO、AR：RB＝△CAO：△CBO です。3つの比をかけると、分子と分母に同じ三角形がそろって約分され、1になります。
重心の場合は P、Q、R がすべて中点なので 1×1×1＝1。チェバの定理から「3本の中線は1点で交わる」ことも説明できます（チェバの定理の逆）。
2. メネラウスの定理
式の形はチェバの定理とそっくりで、頂点Aから A→R→B→P→C→Q→A とひとまわりします。ちがうのは、Pが辺の延長上にあることです。BPは「BからPまで」の長さで、BCより長くなります。
なぜ成り立つか（平行線で証明）
Cを通りABに平行な直線をひき、直線PRとの交点をSとします。CS∥BR なので △PCS∽△PBR で BP/PC＝BR/CS。CS∥AR なので △QCS∽△QAR で CQ/QA＝CS/AR。これらをかけると (AR/RB)×(RB/CS)×(CS/AR)＝1 です。
3. 使い分けとコツ
| 定理 | 使う場面 |
|---|---|
| チェバ | 三角形の頂点から引いた3本の線が1点で交わる図 |
| メネラウス | 1本の直線が三角形を横切る図。交点が線分をどんな比に分けるかを求めるとき |
メネラウスで「交点の比」を求めるコツ
図1で AO：OP を求めたいときは、△ABP と直線 CR（R、O、C が一直線）に注目します。三角形と直線の組を見つけ、三角形の頂点を出発してひとまわりする式を書けば、残る1つの比が求まります。
つまずき：ひとまわりの順番がずれる
途中で向きを変えたり、分点を飛ばしたりすると正しい式になりません。「頂点→分点→頂点→分点…」と、指で図をなぞりながら書くのが確実です。
4. 例題
例題1（チェバ）
△ABCで、AP、BQ、CRが1点Oで交わっています。BP：PC＝2：3、CQ：QA＝1：2 のとき、AR：RB を求めなさい。
(2/3)×(1/2)×(AR/RB)＝1 より AR/RB＝3。AR：RB＝3：1。
例題2（メネラウスで交点の比）
例題1の図で、AO：OP を求めなさい。
△ABP と直線 RC（R、O、C が一直線）にメネラウスの定理を使います。A→R→B→C→P→O→A とまわって
(AR/RB)×(BC/CP)×(PO/OA)＝1。AR/RB＝3、BC/CP＝5/3 なので、3×(5/3)×(PO/OA)＝1、PO/OA＝1/5。
AO：OP＝5：1。
5. 練習問題（解答つき）
問1 チェバの定理の図で、BP：PC＝1：1、CQ：QA＝2：1 のとき、AR：RB を求めなさい。
解答を見る
1×2×(AR/RB)＝1 より AR：RB＝1：2。
問2 メネラウスの定理の図で、AR：RB＝1：2、CQ：QA＝1：1 のとき、BP：PC を求めなさい。
解答を見る
(1/2)×(BP/PC)×1＝1 より BP：PC＝2：1（CはBPの中点）。
問3 △ABCの重心をGとし、AGの延長とBCの交点をMとします。メネラウスの定理を使って AG：GM を求めなさい。
解答を見る
BGの延長とACの交点をN（ACの中点）とし、△AMC と直線BN（B、G、N）で (AG/GM)×(MB/BC)×(CN/NA)＝1。MB/BC＝1/2、CN/NA＝1 より AG/GM＝2。AG：GM＝2：1。
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