平行線と線分の比 ― 三角形と比の定理・中点連結定理
平行な線があると、図形の中に相似な三角形が生まれ、線分の長さを比で求められるようになります。この単元は「どの比とどの比が等しいのか」を取り違えやすいのが難しいところです。この記事では、全体の比と部分の比の区別をはっきりさせながら、中点連結定理と台形の問題まで一気に整理します。
1. 三角形と比の定理
△ABCの辺AB、AC上の点D、Eについて、DE∥BCなら、同位角が等しいので∠ADE＝∠ABC、∠Aは共通です。2組の角が等しいので△ADE∽△ABCとなり、ここから次の比が成り立ちます。
2つ目の式は、相似からそのままは出てきません。Eを通りABに平行な直線をひいてBCとの交点をFとすると、四角形DBFEは平行四辺形でDB＝EFとなり、△ADE∽△EFCから AD：EF＝AE：EC、つまり AD：DB＝AE：EC が得られます。
いちばん多いまちがい
「AD：DB＝DE：BC」としてしまうミスです。DEとBCの比は、全体のAD：ABと等しくなります。部分どうしの比 AD：DB と混ぜないようにしましょう。
この定理には逆もあります。AD：DB＝AE：EC（または AD：AB＝AE：AC）ならば DE∥BC です。「平行であることを証明しなさい」という問題で使います。ただし、DE：BC の比が等しいだけでは平行とは言えないので注意しましょう。
2. 平行線と線分の比
3本以上の平行線に2本の直線が交わるとき、平行線で区切られた部分の比は等しくなります。
理由は、Aを通り直線DFに平行な直線をひくと、図の中に「三角形と比」の形ができるからです。2本の直線が平行でなくても、交わっていても成り立ちます。グラフの読み取りや、川幅・道路の問題など、身近な場面にも出てきます。
3. 中点連結定理
三角形と比の定理で、DとEがちょうど中点の場合が中点連結定理です。
AM：AB＝AN：AC＝1：2で、∠Aが共通なので△AMN∽△ABC（相似比1：2）。対応する辺の比からMN＝(1/2)BC、対応する角（同位角）が等しいのでMN∥BCです。長さと平行の2つの情報が一度に手に入るのが、この定理の強みです。
四角形の中点を結ぶと平行四辺形
どんな四角形ABCDでも、4辺の中点を順に結ぶと平行四辺形になります。対角線ACで2つの三角形に分けると、向かい合う2つの辺が、どちらも中点連結定理でAC に平行で長さがACの半分になるからです。もとの四角形の対角線が等しければひし形、垂直なら長方形になります。
4. 台形と線分の比
台形の問題では、対角線をひいて三角形を2つ作るのが基本の型です。図4で、AD＝6、BC＝10のとき、MNの長さを求めてみましょう。
対角線ACとMNの交点をKとすると、△ABCで中点連結定理より MK＝(1/2)BC＝5、△CDAで KN＝(1/2)AD＝3。よって MN＝5＋3＝8 です。結果として、台形の2辺の中点を結ぶ線分の長さは、上底と下底の平均（(6＋10)÷2）になります。
中点でなく、たとえば AM：MB＝1：2 の場合も同じ考え方です。MK：BC＝1：3、KN：AD＝2：3 として、それぞれの三角形で比を使います。
5. 例題
例題1
△ABCで、辺AB上の点D、辺AC上の点Eについて DE∥BC です。AD＝4、DB＝6、DE＝5のとき、BCの長さを求めなさい。
DE：BC＝AD：AB＝4：(4＋6)＝4：10。
5：BC＝4：10 より、BC＝5×10÷4＝12.5。
DB の6を使って「4：6」としないことがポイントです。
例題2
線分AB、CDがどちらも直線BDに垂直で、AB＝6、CD＝3 です。ADとBCの交点をEとし、Eから BD に垂線EFをひくとき、EFの長さを求めなさい。
AB∥CD（どちらもBDに垂直）なので、△EAB∽△EDCで AE：ED＝AB：DC＝6：3＝2：1。
EF∥AB なので、△DEF∽△DAB で EF：AB＝DE：DA＝1：3。EF＝6×1/3＝2。
実は EF＝(6×3)/(6＋3) で、BDの長さに関係なく決まります。電柱やついたての問題でよく出る形です。
6. 練習問題（解答つき）
問1 △ABCで DE∥BC（DはAB上、EはAC上）。AD＝3、DB＝2、AE＝6 のとき、ECの長さを求めなさい。
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AD：DB＝AE：EC より 3：2＝6：EC。EC＝4。
問2 3辺が 8cm、10cm、14cm の三角形で、各辺の中点を結んでできる三角形の周の長さを求めなさい。
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中点を結ぶ線分は、それぞれ向かい合う辺の半分。4＋5＋7＝16cm。
問3 AD∥BC の台形ABCDで、AD＝4、BC＝12。辺AB、DCの中点をM、Nとするとき、MNの長さを求めなさい。
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(4＋12)÷2＝8。（対角線で分けると 6＋2＝8。）
問4 ℓ∥m∥n で、一方の直線上で AB＝4、BC＝6、もう一方の直線上で DE＝6 のとき、EFの長さを求めなさい。
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AB：BC＝DE：EF より 4：6＝6：EF。EF＝9。
線分の比を、問題でしっかり身につけよう
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