円の性質 ― 円に内接する四角形・接弦定理・方べきの定理
中3の円周角の定理を土台にすると、数学Aで学ぶ円の性質はすべて「円周角」と「相似」から説明できます。この記事では、円に内接する四角形、接線の長さ、接弦定理、方べきの定理を、なぜ成り立つかとセットで整理し、入試の基本問題を解けるようにします。
1. 円に内接する四角形
4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形を「円に内接する四角形」といいます。中3の円周角の定理から、次の性質が導けます。
理由：∠Aは弧BCDに対する円周角、∠Cは弧BADに対する円周角です。2つの弧を合わせると円1周なので、中心角の和は360°。円周角はその半分なので、∠A＋∠C＝180°です。
この性質には逆もあります。1組の向かい合う角の和が180°の四角形（または外角が向かい合う内角に等しい四角形）は、円に内接します。「4点が同じ円周上にある」ことを示す道具として、数学Aの証明でよく使います。もう1つの方法は、円周角の定理の逆（2点が線分の同じ側にあり、その線分を見こむ角が等しい）です。
2. 接線の長さ
円の外の点Pから円に2本の接線を引き、接点をA、Bとすると、PA＝PBです。△OAPと△OBPは、∠OAP＝∠OBP＝90°（接線は接点を通る半径に垂直）、OA＝OB（半径）、OP共通なので、直角三角形の斜辺と他の1辺が等しく合同だからです。
この「接線の長さが等しい」は、内接円の問題で毎回のように使います。たとえば△ABCの内接円が辺BC、CA、ABとD、E、Fで接するとき、AE＝AF、BD＝BF、CD＝CEなので、AF＝(AB＋AC−BC)/2のように接点までの長さが辺の長さだけで求められます。円に外接する四角形で AB＋CD＝AD＋BC（ピトーの定理）が成り立つのも同じ理由です。
3. 接弦定理
証明は、Tを通る直径TDをひくのが定番です。接線は半径に垂直なので∠DTX＝90°、直径に対する円周角なので∠TAD＝90°。すると∠ATX＝90°−∠ATD＝∠ADT となり、∠ADTと∠ABTは同じ弧ATに対する円周角なので等しくなります。
接弦定理は「接線がある図で、円周角を接線のところまで運んでくる」道具です。どの弧に対する角かを、図で弧に色をつけて確かめると、取り違えを防げます。
4. 方べきの定理
点Pを通る2本の直線が円と交わるとき、Pから交点までの長さの積が等しくなります。
どの形も、相似な三角形から導けます。内部の場合は、ACとBDを結ぶと円周角と対頂角から△PAC∽△PDB。外部の場合は、円に内接する四角形の外角の性質から△PAC∽△PDB。接線の場合は、接弦定理から△PTA∽△PBTです。相似の比をかけ算の形に直したものが方べきの定理です。
つまずき：外部の場合に「PA・AB」としてしまう
方べきの定理は、どの形でもPから測った長さどうしの積です。円の外部の場合、PBは「PA＋AB」です。AB（弦の長さ）をそのまま使わないようにしましょう。
方べきの定理にも逆があり、PA・PB＝PC・PD（A、BとC、Dはそれぞれ直線上で同じ位置関係）ならば4点A、B、C、Dは同じ円周上にあります。
5. 例題
例題1
円外の点Pから円に接線PTと、円と2点A、B（PA＜PB）で交わる直線をひきます。PA＝4、AB＝5のとき、PTの長さを求めなさい。
PB＝4＋5＝9。PT²＝PA・PB＝4×9＝36。PT＞0 より PT＝6。
例題2
AB＝7、BC＝8、CA＝9の△ABCの内接円が辺ABと接する点をFとします。AFの長さを求めなさい。
接線の長さは等しいので、AF＝(AB＋AC−BC)/2＝(7＋9−8)/2＝4。
例題3
円に内接する四角形ABCDで、∠BAD＝100°、∠ABD＝45°のとき、∠BCDと∠ACDを求めなさい。
∠BCD＝180°−100°＝80°。
∠ACDと∠ABDは弧ADに対する円周角なので等しく、∠ACD＝45°。
6. 練習問題（解答つき）
問1 円の内部の点Pで2つの弦AB、CDが交わっています。PA＝3、PB＝8、PC＝4のとき、PDの長さを求めなさい。
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3×8＝4×PD より PD＝6。
問2 円外の点Pを通る2直線が円と A、B および C、D で交わります（PA＜PB、PC＜PD）。PA＝2、AB＝10、PC＝3のとき、CDの長さを求めなさい。
解答を見る
PB＝2＋10＝12。PA・PB＝2×12＝24＝3×PD より PD＝8。CD＝PD−PC＝8−3＝5。
問3 接弦定理の図で、∠ATX＝68°のとき、弧ATに対する中心角を求めなさい。
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弧ATに対する円周角は68°なので、中心角は136°。
問4 四角形ABCDで ∠A＝85°、∠C＝95°です。この四角形は円に内接するといえますか。
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向かい合う角の和が85°＋95°＝180°なので、円に内接する。
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