等積変形と面積比 ― 平行線を使って面積を変えずに形を変える
「底辺と高さが同じなら、三角形の面積は同じ」。このあたりまえの事実と平行線を組み合わせると、形を変えても面積が変わらない「等積変形」や、面積の比を求める問題が解けるようになります。この記事では、平行線と面積の関係から、入試頻出の面積比の求め方までを順に整理します。
この記事の内容
1. 平行線と面積
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。底辺BCを決めたまま頂点を動かすとき、頂点がBCに平行な直線の上を動くなら、高さは変わりません。だから面積も変わりません。
逆に、△ABC＝△PBC（A、PはBCについて同じ側）ならば AP∥BC です。「面積が等しい→平行」という使い方もできるので、証明問題にも出てきます。
この性質から、台形ABCD（AD∥BC）では対角線で分けた△ABCと△DBCの面積が等しくなり、そこから共通部分を引いた△ABO＝△DCO（Oは対角線の交点）も言えます。入試でよく見る形です。
2. 等積変形
面積を変えずに形を変えることを等積変形といいます。1章の性質を使うと、四角形を同じ面積の三角形に変えることができます。
- 対角線ACをひく。
- 点Dを通り、ACに平行な直線をひき、辺BCの延長との交点をEとする。
- AとEを結ぶ。四角形ABCD＝△ABE となる。
理由：AC∥DE なので、△ACD と △ACE は底辺ACが共通で高さが等しく、面積が等しい。四角形ABCD＝△ABC＋△ACD＝△ABC＋△ACE＝△ABE です。「三角形を1つ別の三角形と取りかえる」のがコツです。
折れ線の境界をまっすぐにする
土地の境界線が折れ線になっていて、面積を変えずに1本の直線に引き直す問題も同じ考え方です。折れ線を A→P→B とすると、AとBを結び、Pを通りABに平行な直線をひきます。その直線が土地のはしと交わる点をQとすれば、AQ（またはBQ）が新しい境界線です。△APB と △AQB が等しいので、両側の面積が変わりません。
3. 面積の比
高さが共通な三角形どうしでは、面積の比は底辺の比に等しくなります。逆に、底辺が共通なら面積の比は高さの比です。
この2つを組み合わせると、ほとんどの面積比の問題が解けます。たとえば△ABCで、辺AB上の点Pが AP：PB＝1：2、辺AC上の点Qが AQ：QC＝3：1 のとき、△APQ は △ABC の何倍でしょうか。
△APC＝(1/3)△ABC（底辺の比 AP：AB＝1：3）。△APQ＝(3/4)△APC（底辺の比 AQ：AC＝3：4）。よって △APQ＝(1/3)×(3/4)△ABC＝(1/4)△ABC です。「一度に求めず、2段階で比をかける」のがポイントです。
相似の面積比との使い分け
相似な図形なら面積比は相似比の2乗（相似の記事）。相似でなくても、高さや底辺が共通なら「1乗の比」で求められます。まず「共通なのは何か」を探しましょう。
4. 例題
例題1
平行四辺形ABCDの辺AD上に点Pをとります。平行四辺形の面積が40cm²のとき、△PBCの面積を求めなさい。
AD∥BC なので、Pが AD 上のどこにあっても △PBC の高さは平行四辺形の高さと同じです。底辺も BC で共通なので、△PBC は平行四辺形の半分。20cm²。
例題2
△ABCの辺BC上に BD：DC＝3：2 となる点D、線分AD上に AE：ED＝1：1 となる点Eをとります。△ABCの面積が30cm²のとき、△EBDの面積を求めなさい。
△ABD＝30×3/5＝18cm²（底辺の比 BD：BC＝3：5）。
△EBD＝18×1/2＝9cm²（底辺の比 ED：AD＝1：2）。
5. 練習問題（解答つき）
問1 AD∥BC の台形ABCDで、対角線の交点をOとします。△ABO＝12cm² のとき、△DCOの面積を求めなさい。
解答を見る
△ABC＝△DBC（底辺BC共通、高さが等しい）。両方から△OBCを引くと △ABO＝△DCO。12cm²。
問2 △ABCで、辺AB上に AP：PB＝2：1、辺AC上に AQ：QC＝1：1 となる点P、Qをとります。△APQの面積は△ABCの何倍ですか。
解答を見る
(2/3)×(1/2)＝1/3倍。
問3 四角形ABCDを、面積を変えずに辺BCの延長上に頂点をもつ三角形に変える方法を説明しなさい。
解答を見る
対角線ACをひき、Dを通りACに平行な直線とBCの延長の交点をEとする。△ABE が求める三角形（△ACD＝△ACEだから）。
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