円の方程式と接線 ― 標準形・平方完成・円と直線の位置関係
円の方程式は「中心からの距離が一定」という円の定義を、2点間の距離の公式で書き表したものです。この記事では、標準形と一般形の行き来、円と直線の位置関係の判定、弦の長さ、接線の方程式までを、図形の見方と式の計算をつなげながら整理します。
この記事の内容
1. 円の方程式（標準形）
円とは「中心からの距離が一定の点の集まり」です。中心(a, b)、半径rの円周上の点を(x, y)とすると、2点間の距離の公式から √((x−a)²＋(y−b)²)＝r。両辺を2乗して次の式になります。
図1の円は (x−2)²＋(y−1)²＝9 です。符号に注意しましょう。中心のx座標が2なら「x−2」、−2なら「x＋2」です。
2. 一般形と平方完成
標準形を展開すると x²＋y²＋lx＋my＋n＝0 の形（一般形）になります。逆に一般形が与えられたら、xとyそれぞれで平方完成して中心と半径を読み取ります。
例
x²＋y²−4x＋6y−3＝0 の中心と半径を求めなさい。
(x²−4x)＋(y²＋6y)＝3
(x−2)²−4＋(y＋3)²−9＝3
(x−2)²＋(y＋3)²＝16
中心 (2, −3)、半径 4。
注意：右辺が0以下なら円ではない
平方完成して右辺が0なら1点、負なら図形を表しません。「円を表すようなkの範囲」を問う問題は、右辺＞0 という条件で解きます。
3点を通る円を求めるときは、一般形 x²＋y²＋lx＋my＋n＝0 に3点の座標を代入して、l、m、nの連立方程式を解きます。
3. 円と直線の位置関係
円と直線の位置関係は2通りの方法で調べられます。
| 位置関係 | 距離で判定 | 判別式で判定 |
|---|---|---|
| 2点で交わる | d＜r | D＞0 |
| 接する | d＝r | D＝0 |
| 共有点なし | d＞r | D＜0 |
距離で判定：中心(a, b)と直線 px＋qy＋s＝0 の距離は d＝|pa＋qb＋s|/√(p²＋q²)（点と直線の距離の公式）。判別式で判定：直線の式を円の式に代入してできる2次方程式の判別式Dの符号を見ます。計算が軽いのはたいてい距離のほうです。
交わるときの弦の長さも、距離dを使うと三平方の定理ですぐに求まります。中心から弦に下ろした垂線は弦を2等分するので、弦の長さ＝2√(r²−d²) です。
4. 円の接線の方程式
x₁x＋y₁y＝r²
理由：接線は、接点を通る半径に垂直です。接点P(x₁, y₁)、接線上の点Q(x, y)とすると、ベクトルOPとPQが垂直なので内積が0：x₁(x−x₁)＋y₁(y−y₁)＝0。x₁²＋y₁²＝r² を使うと x₁x＋y₁y＝r² になります。
中心が原点でない円 (x−a)²＋(y−b)²＝r² では、(x₁−a)(x−a)＋(y₁−b)(y−b)＝r² となります。
円外の点から引いた接線
接点が分からないときは、接点を(x₁, y₁)とおいて接線 x₁x＋y₁y＝r² が与えられた点を通る条件と、x₁²＋y₁²＝r² の2式を連立します。または、傾きをmとおいて「中心と直線の距離＝半径」の式を立てる方法もあります（y軸に平行な接線を見落とさないように注意）。
5. 例題
例題1
円 x²＋y²＝10 と直線 y＝x＋k が接するとき、kの値を求めなさい。
直線は x−y＋k＝0。原点との距離は |k|/√2。接する条件は |k|/√2＝√10 なので |k|＝√20＝2√5。k＝±2√5。
例題2
円 x²＋y²＝25 が直線 3x＋4y＝15 から切り取る弦の長さを求めなさい。
原点と直線の距離 d＝|−15|/√(9＋16)＝3。弦の長さ＝2√(25−9)＝2×4＝8。
6. 練習問題（解答つき）
問1 中心(−1, 3)、半径2の円の方程式を求めなさい。
解答を見る
(x＋1)²＋(y−3)²＝4
問2 x²＋y²＋6x−2y＋1＝0 の中心と半径を求めなさい。
解答を見る
(x＋3)²＋(y−1)²＝9。中心 (−3, 1)、半径 3。
問3 円 x²＋y²＝13 上の点(2, −3)における接線の方程式を求めなさい。
解答を見る
2x−3y＝13
問4 円 (x−1)²＋(y−2)²＝5 と直線 2x−y＋5＝0 の位置関係を調べなさい。
解答を見る
中心(1, 2)と直線の距離 d＝|2−2＋5|/√5＝5/√5＝√5。半径も√5なので d＝r、接する。
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