円周角の定理とその逆 ― 中心角の半分になる理由と、直径に対する円周角
円の問題で角度を求めるとき、ほぼ必ず使うのが円周角の定理です。公式としては短いのですが、「どの弧に対する角なのか」を見落とすと、とたんに解けなくなります。この記事では、定理がなぜ成り立つのかを二等辺三角形から確かめ、直径の場合や定理の逆まで、入試で使う形にそって整理します。
1. 円周角と中心角とは
円Oの周上に2点A、Bをとると、円周は2つの弧に分かれます。そのうちの一方を弧ABとし、弧ABをふくまない側の円周上に点Pをとります。このときの∠APBを、弧ABに対する円周角といいます。頂点が円周上にあり、2本の辺が弧の両端を通っている角です。
一方、中心Oと弧の両端を結んでできる∠AOBを、弧ABに対する中心角といいます。中心角はおうぎ形の単元でも出てきた、おうぎ形の「開き具合」を表す角です。円周角と中心角は、どちらも「同じ弧を見込む角」ですが、見ている場所が円周上か中心かがちがいます。
2. 円周角の定理
円周角の定理
- ① 1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
- ② 同じ弧に対する円周角の大きさは、すべて等しい
②は①からすぐに出てきます。同じ弧に対する中心角は1つしかないので、その半分である円周角は、点Pを弧の上のどこに動かしても変わりません。図のPとQのように見た目の形がかなりちがっても、角の大きさは同じです。等しい弧に対する円周角が等しいことも、同じ理由で成り立ちます。
3. なぜ中心角の半分になるのか
定理①の理由は、補助線を1本引くだけで説明できます。点Pから中心Oを通る直径PQを引くのがポイントです。円の問題で「中心と結ぶ」補助線は定番で、補助線の引き方7つの型でも紹介しています。
OAとOPはどちらも半径なので、△OAPは二等辺三角形です。そこで ∠OPA＝a とすると、底角が等しいので ∠OAP＝a になります。
次に∠AOQに注目します。これは△OAPの頂点Oにおける外角です。三角形の外角は、となり合わない2つの内角の和に等しいので、∠AOQ＝a＋a＝2a です。まったく同じことを右側の△OBPでも行うと、∠OPB＝b のとき ∠BOQ＝2b になります。
あとは足し算です。円周角は ∠APB＝a＋b、中心角は ∠AOB＝2a＋2b＝2(a＋b)。よって中心角は円周角のちょうど2倍、つまり円周角は中心角の半分です。
ここではOが∠APBの内側にある場合を説明しました。Oが∠APBの辺の上にある場合や外側にある場合も、同じ直径PQを使い、足し算のかわりに引き算をすれば同じ結論になります。「半径2本で二等辺三角形、外角で2倍」という流れを覚えておけば、どの場合でも自分で説明できます。
4. 直径に対する円周角は90°
弧ABが半円のとき、つまりABが直径のときを考えます。中心角∠AOBは一直線なので180°です。円周角はその半分なので90°になります。
この性質は入試で本当によく使います。問題文に「ABは直径」とあったら、すぐに直角の印をかきこむくせをつけましょう。直角三角形ができれば三平方の定理や相似が使えるようになり、長さの問題に一気につながります。逆に、図の中に直角を2つ見つけたら「同じ斜辺を直径とする円がかける」と考えられるようになると、上級の問題にも対応できます。
5. 円周角の定理の逆
円周角の定理は「4点が同じ円周上にある ならば 角が等しい」という内容でした。その逆も成り立ちます。
円周角の定理の逆
2点P、Qが直線ABについて同じ側にあって、∠APB＝∠AQB ならば、4点A、B、P、Qは1つの円周上にある。
円がかかれていない図でも、等しい角を見つけたら「この4点は同じ円の上にある」と言えるのがこの定理の強みです。円が見えれば、今度は円周角の定理を使って、ほかの角も等しいことが次々にわかります。つまり逆は、見えない円を呼び出す道具です。
使うときに忘れてはいけないのが「同じ側」という条件です。PとQが直線ABの反対側にあると、角が等しくても同じ円周上にあるとは限りません。答案では「2点C、Dは直線ABについて同じ側にあり」と、ひとこと書きそえるようにしましょう。
6. 例題
例題1（直径と円周角）
下の図で、ABは円Oの直径、C、Dは円周上の点です。∠CAB＝28°のとき、∠x（∠ABC）と∠y（∠ADC）の大きさを求めなさい。
考え方：ABが直径なので、まず∠ACBに直角の印をかきます。次に、∠yがどの弧に対する円周角かを確かめます。
直径に対する円周角なので ∠ACB＝90°。△ABCの内角の和から
∠x＝180°－90°－28°＝62°
∠ADCと∠ABCは、どちらも弧ACに対する円周角です（DとBは直線ACについて同じ側）。よって
∠y＝∠x＝62°
例題2（円周角の定理の逆）
四角形ABCDで、対角線AC、BDを引きます。∠ACB＝∠ADB＝35°、∠BAC＝45°のとき、∠x（∠BDC）の大きさを求めなさい。
考え方：∠ACBと∠ADBは、どちらも線分ABを見込む角です。等しい角があるので、逆を使って円を呼び出します。
2点C、Dは直線ABについて同じ側にあり、∠ACB＝∠ADB です。したがって円周角の定理の逆より、4点A、B、C、Dは1つの円周上にあります。
すると∠BDCと∠BACは、どちらも弧BCに対する円周角になります。よって
∠x＝∠BAC＝45°
例題2は、円がかかれていないのに円周角の定理が使える、という点がおもしろいところです。等しい角を見つける→逆で円を見つける→円周角の定理で別の角を移す。この3段の流れは、高校入試の難しめの角度問題でよく使われます。
7. よくあるつまずき
つまずき1：どの弧に対する円周角かを取りちがえる
円周角の頂点から出る2本の線の先が、どの2点を通っているかを見ます。その2点を両端とし、頂点をふくまない側の弧が「対する弧」です。弧を指でなぞってから式を立てると、取りちがえが減ります。
つまずき2：2倍と半分を逆にする
「円周角＝中心角×2」としてしまうミスです。図を見れば、中心から見た角のほうが大きく開いているのがわかります。「中心のほうが大きい」と覚えておけば、どちらが2倍なのか迷いません。
つまずき3：反対側の弧の円周角と混同する
点Pが弧ABの上（中心角をつくる弧と同じ側）にあると、∠APBは大きい弧に対する円周角になります。中心角が130°のとき、反対側の点から見た円周角は65°ですが、弧の上の点から見た円周角は (360°－130°)÷2＝115° です。円に内接する四角形の向かい合う角の和が180°になるのは、このためです。
8. 練習問題（解答つき）
問1 円Oで、弧ABに対する中心角∠AOBが130°です。（1）弧ABをふくまない側の円周上の点Pについて、∠APBを求めなさい。（2）弧ABの上の点Rについて、∠ARBを求めなさい。
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（1）円周角は中心角の半分なので ∠APB＝130°÷2＝65°
（2）Rから見た角は、残りの大きい弧に対する円周角です。その中心角は 360°－130°＝230° なので ∠ARB＝230°÷2＝115°
問2 ABを直径とする円の周上に点Cがあり、∠BAC は ∠ABC の2倍です。∠ABCの大きさを求めなさい。
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直径に対する円周角なので ∠ACB＝90°。よって ∠BAC＋∠ABC＝90°。
∠ABC＝x とすると 2x＋x＝90 → x＝30
∠ABC＝30°（∠BAC＝60°）
問3 円周上に4点A、B、C、Dがこの順にあり、線分ACとBDの交点をEとします。∠BAC＝40°、∠ACD＝30°のとき、∠AEBの大きさを求めなさい。
解答を見る
∠ABDと∠ACDは、どちらも弧ADに対する円周角なので ∠ABD＝∠ACD＝30°。
△ABEで、∠BAE＝40°、∠ABE＝30° なので
∠AEB＝180°－40°－30°＝110°
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