相似の条件と、面積比・体積比 ― 相似比を「2乗・3乗」する理由から理解する
相似は中3の図形のなかでもっとも出題が多い単元のひとつです。長さを求める問題、面積や体積の比を求める問題、証明問題と、形を変えて何度も登場します。この記事では、相似条件を合同条件と比べて整理し、入試でよく見る「相似な三角形の形」と、面積比・体積比がなぜ2乗・3乗になるのかを説明します。
1. 相似とは何か（相似比と記号）
ある図形を拡大または縮小して、もう一方の図形とぴったり重ねられるとき、2つの図形は相似であるといいます。形は同じで、大きさだけがちがう関係です。記号は「∽」を使い、△ABC∽△DEF のように書きます。合同と同じく、対応する頂点の順に書くのが約束です。
相似な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比はすべて等しくなります。この長さの比を相似比といいます。たとえば下の図の△ABCと△DEFは、BC＝4cm、EF＝6cm なので相似比は 4：6＝2：3 です。ほかの辺も同じ 2：3 の比になっています。
合同は「相似比が1：1の相似」と考えることもできます。合同の考え方をそのまま広げたのが相似だと思えば、条件や証明の書き方も覚えやすくなります。
2. 三角形の相似条件は3つ
三角形の相似条件
- ① 3組の辺の比がすべて等しい
- ② 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- ③ 2組の角がそれぞれ等しい
合同条件と並べてみると、①と②は「辺が等しい」が「辺の比が等しい」に変わっただけです。大きく変わるのは③です。合同条件の「1組の辺とその両端の角」から辺が消えて、角だけになっています。
なぜ角2つだけでよいのでしょうか。三角形の内角の和は180°なので、2つの角が等しければ残りの1つも自動的に等しくなります。そして3つの角が決まると、三角形の形は1つに決まります。大きさは決まりませんが、相似は大きさを問わないので、これで十分なのです。辺の長さは1つもいりません。
入試の証明問題では、この③が使われる割合が圧倒的に高いです。角は平行線の錯角・同位角、対頂角、共通な角、円周角などからすぐに見つかるからです。相似の証明に迷ったら、まず「等しい角が2組ないか」を探すのが近道です。
3. よく出る相似の形
図が複雑でも、相似な三角形はたいてい決まった形で隠れています。次の3つの形を覚えておくと、図の中から相似を見つける速さがまるで変わります。
ピラミッド型
三角形の中に底辺と平行な線DEが引かれている形です。DE∥BC より同位角が等しく、∠Aは共通なので、△ADE∽△ABC です。このとき対応する辺は AD と AB、AE と AC、DE と BC です。AD と DB の比ではなく、AD と AB の比が相似比になることに注意しましょう。
砂時計型
平行な2本の線分ABとCDを、交わる2本の線分が結んでいる形です。AB∥CD より錯角が等しく、Oのところは対頂角なので、△OAB∽△ODC です。上下が逆さまになって対応するので、頂点の対応を取りちがえやすい形でもあります。図に等しい角の印を入れてから、対応を確かめましょう。
直角三角形の中の相似
∠A＝90°の直角三角形ABCで、Aから斜辺BCに垂線AHを下ろすと、△ABC、△HBA、△HAC の3つがすべて相似になります。どれも直角を1つもち、さらに∠Bや∠Cを共有しているからです。この形からは AH²＝BH×HC という便利な関係が出てきます（練習問題の問3で使います）。
4. 面積比と体積比
面積比は m²：n² ／ 体積比は m³：n³面積は「長さ×長さ」、体積は「長さ×長さ×長さ」でできているから
相似比が2：3のとき、面積の比も2：3だと考えてしまう人がとても多いです。でも、三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。底辺も高さもそれぞれ 3/2 倍になるので、面積は 3/2×3/2＝9/4 倍になります。だから面積比は 4：9、つまり相似比の2乗です。
上の図は、そのことを目で見て確かめるためのものです。1辺を2倍にした三角形（青い太線）には、もとの小さな三角形がちょうど4個入ります。3倍にすると9個です。三角形に限らず、円でも四角形でも、相似な図形の面積比は相似比の2乗になります。
立体では、たて・横・高さの3方向がすべて同じ倍率で大きくなります。相似比が2：3なら、体積は 3/2 を3回かけて 27/8 倍、つまり体積比は 8：27 です。表面積は「面」なので、立体であっても2乗の 4：9 になります。立体の体積や表面積の公式そのものは立体の体積と表面積の記事で確認できます。
覚え方
「長さは1回、面積は2回、体積は3回かける」。単位が cm、cm²、cm³ と変わることと結びつけると忘れにくくなります。肩にのった数字が、そのまま相似比を何乗するかを表しています。
5. 例題
例題1（ピラミッド型）
△ABCで、辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE∥BC です。AD＝4cm、DB＝2cm、BC＝9cm のとき、DEの長さ x を求めなさい。また、△ADEと四角形DBCEの面積の比を求めなさい。
考え方：DE∥BC から △ADE∽△ABC です。相似比は AD：AB で、AB＝4＋2＝6cm です。
相似比は AD：AB＝4：6＝2：3。
DE：BC＝2：3 より x：9＝2：3 → x＝6cm
面積比は △ADE：△ABC＝2²：3²＝4：9。
四角形DBCEは △ABC から △ADE を除いた部分なので、面積は 9－4＝5 にあたります。
よって △ADE：四角形DBCE＝4：5
四角形の部分の面積比を聞かれたら、まず相似な三角形どうしの面積比を出し、そこから引き算をする。この手順はとてもよく使います。
例題2（体積比）
体積が 270cm³ の円すいがあります。頂点から高さの 1/3 のところを、底面に平行な平面で切りました。切り取られた上の小さな円すいと、残った下の部分の体積をそれぞれ求めなさい。
考え方：底面に平行に切ると、上の小さな円すいはもとの円すいと相似になります。高さの比がそのまま相似比です。
相似比は 1：3 なので、体積比は 1³：3³＝1：27。
小さな円すいの体積は 270×1/27＝10cm³
残った部分の体積は 270－10＝260cm³
高さの 1/3 で切っても、体積は 1/3 ではなく 1/27 しか切り取られません。円すい形のグラスにジュースを高さの半分まで注いでも、量は満杯の 1/8 しかない、というのも同じ理屈です。
6. よくあるつまずき
つまずき1：ピラミッド型で AD：DB を相似比にしてしまう
例題1で x：9＝4：2 とすると、x＝18 という明らかにおかしな答えになります。相似なのは△ADEと△ABCなので、比べるのは AD と AB です。DBはどちらの三角形の辺でもありません。
つまずき2：面積比や体積比に相似比をそのまま使う
「相似比2：3だから面積比も2：3」は、もっとも多い誤りです。何の比を聞かれているのかを確かめ、面積なら2乗、体積なら3乗にします。逆に、面積比 4：9 から相似比を出すときは、√をとって 2：3 に戻します。
つまずき3：相似でない図形に面積比を使う
たとえば円柱の高さだけを2倍にしても、もとの円柱とは相似になりません。体積は2倍になるだけで、8倍にはなりません。2乗・3乗が使えるのは、すべての長さが同じ倍率で変わる相似な図形だけです。
7. 練習問題（解答つき）
問1 相似比が 3：5 の2つの三角形があります。小さいほうの三角形の面積が 18cm² のとき、大きいほうの三角形の面積を求めなさい。
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面積比は 3²：5²＝9：25。
大きいほうの面積を S とすると 18：S＝9：25 → S＝18×25÷9＝50cm²
問2 AB∥CD で、線分ADと線分BCが点Oで交わっています（3章の砂時計型）。AB＝6cm、CD＝10cm、AO＝4.5cm のとき、ODの長さを求めなさい。
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AB∥CD より錯角が等しく、対頂角も等しいので △OAB∽△ODC（2組の角）。
相似比は AB：DC＝6：10＝3：5 なので、AO：DO＝3：5。
4.5：OD＝3：5 → OD＝4.5×5÷3＝7.5cm
問3 ∠A＝90°の直角三角形ABCで、頂点Aから辺BCに垂線AHを引きます。BH＝4cm、HC＝9cm のとき、AHの長さを求めなさい。
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△HBAと△HACで、∠AHB＝∠CHA＝90°。また ∠HBA＝90°－∠C、∠HAC＝90°－∠C なので ∠HBA＝∠HAC。2組の角がそれぞれ等しいので △HBA∽△HAC。
対応する辺の比から BH：AH＝AH：CH → AH²＝4×9＝36
AH＞0 より AH＝6cm
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