おうぎ形の弧の長さと面積 ― 公式の意味と中心角の求め方
おうぎ形の公式は、覚えるだけなら簡単です。ところが「中心角を求めなさい」「周の長さを求めなさい」と聞き方が変わると、とたんに手が止まる人が多い単元でもあります。この記事では、公式を「円の何分のいくつか」という1つの考え方で理解し、どんな聞かれ方にも対応できるようにします。
1. おうぎ形の各部分の名前
円の2本の半径と、その間の円周の一部（弧）で囲まれた図形をおうぎ形といいます。2本の半径がつくる角を中心角といいます。ピザやケーキを中心から切り分けた1切れの形を思い浮かべるとわかりやすいでしょう。
教科書では弧の長さをℓ、面積をS、円周率をπで表すことが多いです。中学では、答えにπを残したまま書くのが基本です。
2. 公式は「円の何分のいくつか」
円を中心から切り分けるとき、中心角が2倍になれば弧の長さも面積も2倍になります。つまり、弧の長さと面積は中心角に比例します。円全体の中心角は360°なので、中心角a°のおうぎ形は円の a/360 にあたります。
たとえば中心角90°なら円の 90/360＝1/4、中心角120°なら 1/3 です。あとは円全体の値にこの割合をかけるだけです。
こう考えると、公式を2つ別々に覚える必要はありません。「円周か円の面積に、中心角の割合をかける」の1つだけです。計算するときは、a/360 を先に約分しておくと数が小さくなって楽になります。主な角の割合（90°は1/4・60°は1/6・45°は1/8・30°は1/12）は、すぐ言えるようにしておきましょう。
3. 面積＝1/2×弧×半径 になる理由
弧の長さがわかっているときは、中心角を使わずに面積を求める便利な公式があります。
この公式は、おうぎ形を細かく切り分けて並べかえると納得できます。おうぎ形を中心から細く切ると、1切れ1切れは高さがほぼrの細い三角形とみなせます。それを上下互い違いに並べると、下の図のように平行四辺形に近い形になります。
この平行四辺形の高さは半径r、底辺は弧の半分（青い切れの弧だけが下に並ぶから）で ℓ÷2 です。切れ目を細かくするほどぴったり平行四辺形に近づくので、面積は (ℓ÷2)×r＝1/2×ℓ×r になります。三角形の面積「底辺×高さ÷2」と同じ形だと覚えると忘れません。弧を底辺、半径を高さとみた三角形、というイメージです。
この公式は、高校で学ぶ扇形の面積の公式とも同じ形をしています。中1のうちに使い慣れておくと、ずっと役に立ちます。
4. 中心角を求める
中心角がわからないときも、「円の何分のいくつか」で考えます。弧の長さが円周の何倍か、または面積が円の面積の何倍かを求め、それに360°をかければ中心角です。
たとえば半径5cm、弧の長さ2πcmのおうぎ形を考えます。円周は10πcmなので割合は 2π/10π＝1/5、中心角は 360×1/5＝72°です。πどうしが約分で消えるので、計算は意外と簡単です。
5. 入試での使われ方
おうぎ形が単独で出ることは少なく、ほかの図形と組み合わさって出題されます。代表的なのは次の3つです。
- 周の長さ：おうぎ形の周は「弧＋半径2本」です。弧だけを答えてしまうミスが多発します。
- 色のついた部分の面積：正方形からおうぎ形を引く、おうぎ形から三角形を引く、など「足し引き」で求めます。どの図形からどの図形を引くかを、図に書きこんで確かめましょう。
- 円錐の展開図：円錐の側面を開くとおうぎ形になります。「おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周」という関係から中心角を求める問題は定番です。
ポイント
円錐の展開図では、おうぎ形の中心角を「360×底面の半径÷母線」で求められます。これも「弧の長さが円周の何分のいくつか」から導ける式です。詳しくは立体の体積と表面積の記事で解説しています。
6. 例題
例題1
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さ、面積、周の長さを求めなさい。
考え方：120°は円の 120/360＝1/3 です。
弧の長さ 2π×6×1/3＝4π cm
面積 π×6²×1/3＝12π cm²（確かめ：1/2×4π×6＝12π）
周の長さ 弧＋半径2本なので 4π＋12（cm）
例題2
半径9cm、弧の長さ6πcmのおうぎ形の中心角と面積を求めなさい。
考え方：円周は 2π×9＝18πcm。弧はその 6π/18π＝1/3 です。
中心角 360×1/3＝120°
面積は弧と半径がわかっているので 1/2×6π×9＝27π cm²
（中心角を使っても π×81×1/3＝27π で同じになります）
7. よくあるつまずき
つまずき1：周の長さで半径を足し忘れる
「周の長さ」はおうぎ形のまわりをぐるっと一周した長さです。弧だけでなく、2本の半径も含みます。答えが「4π＋12」のように、πのつく項とつかない項の和になるのが普通です。
つまずき2：弧と面積でrとr²を取りちがえる
弧の長さは「2πr」から、面積は「πr²」から始まります。長さに2乗は出てこない、面積は2乗が出てくる、と単位（cmとcm²）で確かめるくせをつけると防げます。
つまずき3：πに3.14を入れて計算が重くなる
問題に「円周率はπとする」とあれば、πのまま計算します。3.14を使う指示があるときも、最後まではπのまま式を整理し、最後に一度だけかけると計算ミスが減ります。
8. 練習問題（解答つき）
問1 半径4cm、中心角45°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
解答を見る
45°は円の 45/360＝1/8。
弧の長さ 2π×4×1/8＝π cm
面積 π×4²×1/8＝2π cm²
問2 半径10cm、面積20πcm²のおうぎ形の中心角と弧の長さを求めなさい。
解答を見る
円の面積は π×10²＝100πcm²。割合は 20π/100π＝1/5。
中心角 360×1/5＝72°
弧の長さ 2π×10×1/5＝4π cm（確かめ：1/2×4π×10＝20π）
問3 1辺6cmの正方形ABCDで、点B、Dをそれぞれ中心として半径6cmの弧ACをかきました。2つの弧で囲まれた葉っぱのような形の部分の面積を求めなさい。
解答を見る
対角線ACで2つに分けて考えます。Bを中心とする中心角90°のおうぎ形 BAC の面積は π×6²×1/4＝9π、そこから直角三角形ABCの面積 6×6÷2＝18 を引くと、片側の部分は 9π−18。
もう片側（Dを中心とするほう）も同じ大きさなので、
(9π−18)×2＝18π−36（cm²）
円周率を3.14とすると約20.52cm²です。
おうぎ形の公式を、使える力に
GeOriginの「公式暗記」で弧の長さや面積の公式を確認し、学年別の単元学習（基礎・標準・応用の3段階）で計算に慣れていきましょう。融合問題では、おうぎ形とほかの図形を組み合わせた問題にも挑戦できます。
無料で公式暗記を始める →