補助線の引き方 7つの型 ―「ひらめき」に頼らない図形の解き方
「補助線が思いつかない」は、図形が苦手な人のいちばん多い悩みです。でも、入試や定期テストに出る補助線の多くは、決まった数パターンの組み合わせでできています。この記事では、よく使う7つの型を、なぜその線を引くのかという理由といっしょに整理します。
1. 補助線は「使える定理を呼び出すため」に引く
補助線そのものに意味があるわけではありません。線を1本足すことで、図の中に平行線・直角・二等辺三角形・相似な三角形など「知っている形」が現れ、習った定理が使えるようになる。これが補助線の役割です。
ですから、補助線を探すときは「どんな線を引こう」ではなく、「どの定理を使いたいか」から逆算するのがコツです。角度を求めたいなら平行線の錯角、長さを求めたいなら三平方の定理や相似、というように、ゴールから必要な形を考えます。
ポイント
問題文の条件（平行・中点・接線・直径など）は、そのまま「どの型を使うか」のヒントになっています。条件に線を引いてから、図をもう一度眺めましょう。
2. 補助線の7つの型
| 型 | こんな条件・目的のときに |
|---|---|
| ① 平行線を引く | 平行な2直線の間に折れ線がある／角度を移したい（同位角・錯角） |
| ② 中心と結ぶ | 円の問題。半径どうしで二等辺三角形ができる |
| ③ 垂線を下ろす | 高さが必要（面積）／直角三角形を作って三平方の定理を使いたい |
| ④ 接点と中心を結ぶ | 接線がある。接線と半径は垂直に交わる |
| ⑤ 中点どうしを結ぶ | 中点が2つ以上ある。中点連結定理が使える |
| ⑥ 辺を延長する | 台形や四角形を三角形に変えて、相似を使いたい |
| ⑦ 直径を引く | 円で直角がほしい。直径に対する円周角は90° |
① 平行線を引く
平行な2直線ℓ、mの間に「くの字」の折れ線があるとき、折れ曲がった点を通ってℓに平行な線を引きます。すると角が上下2つに分かれ、それぞれが錯角でℓ側・m側の角と等しくなります。下の例題で詳しく見ます。
② 中心と結ぶ
円周上の点と中心Oを結ぶと、どれも半径なので長さが等しくなります。2本の半径でできる三角形は二等辺三角形なので、底角が等しいことが使えます。円周角の定理の証明も、この補助線から始まります。
③ 垂線を下ろす
三角形の面積を求めたいのに高さがわからない、斜めの辺の長さを求めたい、というときは頂点から向かいの辺へ垂線を下ろします。直角三角形が2つできるので、三平方の定理や三角比が使えるようになります。
④ 接点と中心を結ぶ
円の接線は、接点を通る半径と垂直です。接線が出てきたら、まず接点と中心を結んで直角の印をつけましょう。
こうすると△OAPは∠OAP＝90°の直角三角形になり、OA（半径）とOPがわかれば三平方の定理で接線の長さPAが求められます。
⑤ 中点どうしを結ぶ
三角形の2辺の中点を結んだ線分は、残りの辺と平行で、長さはその半分です（中点連結定理）。中点が2つ以上出てきたら、まず結んでみる価値があります。台形の場合は、対角線を1本引いて三角形を2つ作ると同じ定理が使えます。
⑥ 辺を延長する
台形の上底と下底は平行なので、左右の脚（斜めの辺）を延長して交わらせると、大小2つの相似な三角形ができます。相似比は上底：下底になるので、長さや面積の比が一気に求められます。
⑦ 直径を引く
直径に対する円周角は90°です。円の中で直角がほしいときは、ある点から中心を通る直径を引き、その端と結びます。外接円の半径Rが関わる問題（正弦定理など）でもよく使います。
3. 例題：平行線の間の折れ線の角
例題
下の図で、ℓ∥m のとき、∠x の大きさを求めなさい。
考え方：折れ曲がった点を通り、ℓに平行な補助線を引きます（型①）。
補助線より上の角は、ℓとの錯角なので 40°。補助線より下の角は、mとの錯角なので 30°。
よって ∠x＝40°＋30°＝70°
覚えておくと速い
平行線の間の「くの字」の角は、両側の角の和になります。折れ曲がりが2回ある場合も、それぞれの点に平行線を引けば同じように求められます。
4. よくあるつまずき
つまずき1：手当たり次第に線を引く
線を増やすほど図が見にくくなり、かえって何も見えなくなります。「何を求めたいか → 使いたい定理 → 必要な形」の順で考え、引く線は1本ずつ足しましょう。
つまずき2：補助線を引いたのに、印をつけない
平行線なら同じ角に同じ印、接線なら直角の印、中点なら等しい長さの印をつけます。印をつけて初めて、等しい角や相似な三角形が目に見えるようになります。
つまずき3：図が小さく、不正確
フリーハンドでも、なるべく大きく、比率をそれらしく描きましょう。不正確な図だと、等しくない角が等しく見えて誤解のもとになります。
5. 練習問題（解答つき）
問1 平行な2直線ℓ、mの間に折れ線があり、ℓとのなす角が35°、mとのなす角が45°です。折れ曲がった点の角∠xを求めなさい（例題と同じ形）。
解答を見る
折れ曲がった点を通りℓに平行な線を引くと、上下の角はそれぞれ35°と45°（錯角）。
∠x＝35°＋45°＝80°
問2 円Oの外の点Pから円に接線を引き、接点をAとします。OA＝4cm、∠APO＝30°のとき、OPと接線PAの長さを求めなさい。
解答を見る
接点と中心を結ぶと（型④）、∠OAP＝90°。△OAPは30°・60°・90°の直角三角形なので、辺の比は OA：OP：PA＝1：2：√3。
OP＝4×2＝8cm、PA＝4√3cm
問3 AD∥BC の台形ABCDで、AD＝4cm、BC＝10cm です。辺AB、DCの中点をそれぞれM、Nとするとき、MNの長さを求めなさい。
解答を見る
対角線ACを引き、ACとMNの交点をPとします（型⑤）。△ABCで中点連結定理より MP＝BC÷2＝5cm、△CDAで PN＝AD÷2＝2cm。
MN＝5＋2＝7cm（上底と下底の平均になります）
補助線の型を、問題で身につけよう
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