三角形の合同条件と証明の書き方 ― 仮定・結論・根拠をそろえて書く
中学2年の図形で、多くの人が最初につまずくのが「証明」です。けれども合同の証明は、書く順番と使う言葉がほぼ決まっています。この記事では、合同条件がなぜこの3つなのかを図で確かめたうえで、仮定・結論・根拠をそろえた答案の書き方を例題で練習します。
この記事の内容
1. 合同とは何か（記号と対応の順番）
2つの図形があって、片方をずらしたり回したり裏返したりすると、もう片方にぴったり重なるとき、その2つは合同であるといいます。形も大きさも同じ、という意味です。記号は「≡」を使い、△ABC≡△DEF のように書きます。
このとき大切なのが頂点を書く順番です。△ABC≡△DEF と書いたら、AとD、BとE、CとFが重なる点どうし（対応する頂点）だという約束になります。順番をそろえておけば、AB＝DE や ∠C＝∠F のように、等しい辺や角を記号の並びから読み取れます。逆に順番がずれていると、正しい内容でも答案としては減点されることがあるので注意しましょう。
重なり方を考えるときは、図形の移動の考え方が役に立ちます。平行移動・回転移動・対称移動のどれで重なるのかを意識すると、対応する頂点を見つけやすくなります。
2. 三角形の合同条件は3つ
2つの三角形が合同であることを確かめるのに、3つの辺と3つの角の合計6つをすべて調べる必要はありません。次のどれか1つが成り立てば、2つの三角形は合同だといえます。
三角形の合同条件
- ① 3組の辺がそれぞれ等しい
- ② 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- ③ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
なぜこの3つで十分なのでしょうか。それは、どの条件もその情報だけで三角形が1通りに作図できるからです。たとえば②なら、まず角を1つかき、その2本の辺の上に決まった長さをとって端どうしを結べば、三角形が1つに決まります。③なら、辺を1本かいて両端から決まった角度で線を伸ばすと、2本の線の交わる点がただ1つに決まります。①は、コンパスで2つの円をかいたときの交点として残りの頂点が決まります。
「情報が同じなら作れる三角形は1つだけ。だから同じ情報をもつ2つの三角形は重なる」。合同条件はこう理解しておくと、丸暗記よりずっと忘れにくくなります。作図のしかたは基本の作図の記事も参考にしてください。
3. なぜ「2辺と1つの角」ではいけないのか
②の条件には「その間の角」という言葉がついています。ここを落として「2辺と1つの角が等しいから合同」と書くと誤りになります。間にない角では、三角形が1通りに決まらないことがあるからです。
上の図では、辺ABの長さと∠Bの大きさを決めたうえで、Aを中心にACの長さを半径とする円をかいています。この円は∠Bの辺と2か所で交わるので、△ABCと△ABC′という形の違う2つの三角形ができてしまいます。どちらも「AB、AC、∠Bが等しい」のに合同ではありません。これが「間の角」が必要な理由です。
同じように、「3つの角がそれぞれ等しい」だけでも合同とはいえません。形は同じでも大きさが違う三角形がいくらでも作れるからです。これは中3で習う相似の条件になります（相似の条件と面積比・体積比）。
4. 証明の書き方：仮定・結論・根拠
証明は「AならばBである」ということを、だれが読んでも納得できる順序で説明する文章です。最初に次の3つを区別しましょう。
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 仮定 | 問題文で「〜とする」「〜のとき」と与えられている条件 | AO＝BO、CO＝DO |
| 結論 | 「〜を証明しなさい」の〜の部分。最後に言いたいこと | △AOC≡△BOD |
| 根拠 | 等しいといえる理由。仮定のほか、すでに正しいとわかっている性質や定理 | 対頂角は等しい、平行線の錯角は等しい、共通な辺 |
合同の証明は、ほとんどが次の4段の形で書けます。
合同の証明の「型」
- どの三角形とどの三角形を比べるかを書く（「△〇〇と△〇〇において」）
- 等しい辺や角を1行に1つずつ、根拠をつけて書き、番号（①②③）をふる
- 「①、②、③より」と番号をまとめ、使う合同条件を書く
- 結論を書く（対応する頂点の順番をそろえる）
2つ目の段で書く根拠は「仮定より」「共通な辺だから」「対頂角は等しいから」「平行線の錯角は等しいから」などが定番です。角の根拠は平行線と角の知識をそのまま使う場面が多いので、自信がない人は先に復習しておきましょう。
5. 例題で答案を書いてみる
例題1
下の図のように、線分ABとCDが点Oで交わっていて、AO＝BO、CO＝DO です。このとき △AOC≡△BOD であることを証明しなさい。
考え方：仮定で2組の辺が等しいとわかっています。あと1つ、角か辺がそろえば合同条件が使えます。Oのところで2本の線分が交わっているので、対頂角が使えそうです。対頂角∠AOCと∠BODは、ちょうど2組の辺の「間の角」になっています。
証明
△AOCと△BODにおいて
仮定より AO＝BO …①
仮定より CO＝DO …②
対頂角は等しいから ∠AOC＝∠BOD …③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△AOC≡△BOD
この証明のあとで「合同な図形の対応する辺は等しい」を根拠にすると、AC＝BD も言えます。さらに、対応する角 ∠OAC＝∠OBD は錯角の位置にあるので、AC∥BD まで示せます。入試の証明問題では、このように合同を経由して長さや平行を示す流れがよく出ます。
例題2
AB＝AC の二等辺三角形ABCで、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとします。△ABD≡△ACD を証明し、BD＝CD であることを示しなさい。
考え方：AB＝AC と、二等分線による ∠BAD＝∠CAD が仮定から出ます。ADは両方の三角形に含まれる共通な辺です。これで「2辺とその間の角」がそろいます。
証明
△ABDと△ACDにおいて
仮定より AB＝AC …①
ADは∠Aの二等分線だから ∠BAD＝∠CAD …②
共通な辺だから AD＝AD …③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいので BD＝CD
この例題からは、∠B＝∠C（二等辺三角形の底角は等しい）や、∠ADB＝∠ADC＝90°（頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する）も導けます。教科書に出てくる二等辺三角形の性質は、じつはこの合同から生まれています。
6. 直角三角形の合同条件
直角三角形どうしの場合は、すでに直角という角が1組そろっているので、次の2つの条件も使えます。
直角三角形の合同条件
- ④ 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
- ⑤ 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
④は、三角形の内角の和が180°であることから残りの角も等しくなり、③の「1辺とその両端の角」に帰着します。⑤は、直角三角形では斜辺が必ず一番長い辺になるため、3章で見たような「2通りの三角形」ができないことがポイントです。答案では「直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので」のように、直角三角形であることを必ず書くようにしましょう。直角の根拠（∠C＝∠F＝90°）も1行使って書いておきます。
7. よくあるつまずき
つまずき1：「間の角」でない角を使ってしまう
2組の辺と1組の角が等しくても、その角が2辺にはさまれていなければ合同とはいえません。答案を書く前に、図で角が2本の辺の間にあるかを指でなぞって確かめましょう。
つまずき2：根拠を書かない・結論を根拠に使う
「AO＝BO」とだけ書いて理由を省くと、証明になりません。また、証明したい結論（たとえば BD＝CD）を途中の根拠に使うのは、いちばん重い誤りです。根拠に使ってよいのは、仮定とすでに証明ずみの性質だけです。
つまずき3：頂点の順番がそろっていない
△ABD≡△DCA のように対応がずれると、内容が正しくても減点されることがあります。結論を書く前に、等しいとした辺や角が同じ位置の文字になっているかを確認しましょう。
8. 練習問題（解答つき）
問1 △ABCと△DEFについて、次の条件のとき2つの三角形は合同といえますか。いえる場合は使う合同条件を答えなさい。
（1）AB＝DE、∠A＝∠D、∠B＝∠E （2）AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD （3）AB＝DE、BC＝EF、∠A＝∠D
解答を見る
（1）合同といえる。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（ABの両端がAとB）。
（2）合同といえる。3組の辺がそれぞれ等しい。
（3）合同とはいえない。∠AはABとCAの間の角で、ABとBCの間の角（∠B）ではないため、2通りの三角形ができる場合があります。
問2 線分ABの中点をMとし、Mを通りABに垂直な直線上に点Pをとります。PA＝PB であることを証明しなさい。
解答を見る
△PAMと△PBMにおいて
仮定より AM＝BM …①
PM⊥ABより ∠PMA＝∠PMB＝90° …②
共通な辺だから PM＝PM …③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △PAM≡△PBM
合同な図形の対応する辺は等しいので PA＝PB
（「垂直二等分線上の点は、線分の両端から等しい距離にある」という性質の証明です）
問3 ∠XOYの二等分線上の点Pから、辺OX、OYにそれぞれ垂線PA、PBを引きます。PA＝PB であることを証明しなさい。
解答を見る
△POAと△POBにおいて
仮定より ∠PAO＝∠PBO＝90° …①
OPは∠XOYの二等分線だから ∠POA＝∠POB …②
共通な辺だから OP＝OP …③
①、②、③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので △POA≡△POB
よって PA＝PB
（角の二等分線上の点は、角の2辺から等しい距離にあります。作図で角の二等分線が描ける理由にもなっています）
証明の「型」を、穴埋めで身につけよう
GeOriginの「記述問題」では、合同の証明などを穴埋め形式で組み立てながら、仮定・根拠・結論の書き方を練習できます。中2の単元学習（基礎・標準・応用の3段階）とあわせて使うのがおすすめです。
無料で証明の穴埋めを解く →