基本の作図 ― 垂直二等分線・角の二等分線・垂線の手順と理由
作図は「手順を暗記する単元」と思われがちですが、3つの基本の作図はどれも同じ1つのアイデアから生まれています。理由がわかれば手順を忘れても自分で組み立て直せますし、入試の「この条件を満たす点を作図せよ」という問題にも対応できます。
1. 作図のルールと、すべての作図の土台
数学の「作図」で使ってよい道具は、定規とコンパスだけです。定規は2点を通る直線を引くためだけに使い、目盛りで長さを測ってはいけません。分度器も使いません。コンパスは円や弧をかくことと、ある長さを別の場所へ写すことに使います。
測らずに正確な図がかけるのは、コンパスが「等しい長さ」を確実に作れる道具だからです。中心から円周上のどの点までも距離は同じです。作図とは、この「等しい長さ」を組み合わせてひし形や二等辺三角形のような線対称な形を作り、その対称の軸を引き出す作業だといえます。
ポイント
3つの基本の作図は、どれも「ひし形（またはたこ形）の対角線は垂直に交わり、一方がもう一方を二等分する」という性質を使っています。作図の跡の弧をよく見ると、必ずひし形がかくれています。
2. 垂直二等分線
線分ABの中点を通り、ABに垂直な直線を垂直二等分線といいます。
手順
- 点Aを中心に、ABの半分より長い半径で円（弧）をかく。
- 点Bを中心に、同じ半径で円（弧）をかく。
- 2つの弧の交点P、Qを直線で結ぶ。
なぜ垂直二等分線になるのか
同じ半径の弧をかいたので、AP＝BP＝AQ＝BQ です。4つの辺が等しい四角形APBQはひし形です。ひし形の対角線は垂直に交わり、互いに相手を二等分するので、PQはABを直角に二等分します。半径をABの半分より長くするのは、2つの弧が交わるようにするためです。
この性質が作図の目的として最もよく出ます。たとえば「2つの町A、Bから等しい距離に駅を作る」なら、駅は線分ABの垂直二等分線上にあります。円の弦の垂直二等分線は必ず円の中心を通るので、円の中心を見つける作図にも使えます。
3. 角の二等分線
∠XOYを2つの等しい角に分ける半直線を角の二等分線といいます。
手順
- 頂点Oを中心に円（弧）をかき、2辺との交点をC、Dとする。
- C、Dをそれぞれ中心に、同じ半径で弧をかき、その交点をPとする。
- 半直線OPを引く。
なぜ角の二等分線になるのか
四角形OCPDを見ると、OC＝OD（同じ円の半径）、CP＝DP（同じ半径の弧）です。となり合う2辺ずつが等しいこの形はたこ形で、対角線OPを軸とする線対称な図形です。だから∠COP＝∠DOPになります。中2で合同を習うと、△OCPと△ODPが3組の辺がそれぞれ等しいので合同、と証明できます（OPは共通）。
ここでいう「辺からの距離」は、点から辺へ下ろした垂線の長さのことです。三角形の3つの辺に接する円（内接円）の中心を求めるときにも、この性質を使います。
4. 垂線
直線ℓに垂直に交わる直線を、ℓの垂線といいます。ℓ上にない点Pを通る垂線の作図がよく出ます。
手順（点Pが直線ℓ上にないとき）
- 点Pを中心に、ℓと2点で交わる円（弧）をかき、交点をA、Bとする。
- A、Bをそれぞれ中心に、同じ半径で弧をかき、その交点をQとする。
- 直線PQを引く。
なぜ垂線になるのか
PA＝PB なので、Pは線分ABの垂直二等分線上にあります。QA＝QB なので、Qも同じ垂直二等分線上にあります。異なる2点を通る直線は1本しかないので、直線PQがABの垂直二等分線、つまりℓの垂線です。垂線の作図は、垂直二等分線の作図の応用だとわかります。
点Pが直線ℓ上にあるときは、Pを中心に円をかいてℓとの交点をA、Bとし、ABの垂直二等分線を引きます。これは180°の角（平角）の二等分線をかいているのと同じです。こうして90°が作れると、それを二等分して45°が作れます。正三角形の60°を二等分すれば30°です。このように多くの角が作図できます。
垂線は「点と直線の距離」を表す線でもあります。点Pから直線ℓへのいちばん短い道のりは、ℓに垂直に下りる線分PHです。三角形の高さや、点から直線までの最短距離を求める問題で使います。
5. どの作図を使うか ― 条件からの見分け方
入試の作図問題では、どの作図を使うかが書かれていません。問題文の言葉から判断します。
| 問題文の言葉 | 使う作図 |
|---|---|
| 2点から等しい距離／円の中心を求める | 垂直二等分線 |
| 2辺（2直線）から等しい距離 | 角の二等分線 |
| 最短距離／高さ／接線（半径に垂直） | 垂線 |
| 45°、30°、15°などの角 | 垂線（90°）や正三角形（60°）を二等分 |
| 折り返し・対称な点 | 垂線を引き、同じ長さを写す |
条件が2つあるときは、それぞれの条件を満たす線を引き、その交点を答えにするのが基本の考え方です。
6. 例題
例題1
△ABCの3つの頂点A、B、Cから等しい距離にある点Oを作図するには、どうすればよいですか。
考え方：「AとBから等しい距離」と「BとCから等しい距離」の2つの条件に分けます。
辺ABの垂直二等分線と、辺BCの垂直二等分線を作図し、その交点をOとする。
OA＝OB かつ OB＝OC なので、OA＝OB＝OC です。Oを中心に半径OAの円をかくと、3つの頂点をすべて通ります（この円を外接円といいます）。
例題2
直線ℓについて同じ側に2点A、Bがあります。ℓ上に点Pをとり、AP＋PBが最も短くなるようにするには、どこにPをとればよいですか。
考え方：ℓについてAと対称な点A′をとると、ℓ上のどの点Pでも AP＝A′P です。だから AP＋PB＝A′P＋PB となり、これが最小になるのはA′、P、Bが一直線に並ぶときです。
作図：Aからℓに垂線を引き、ℓの反対側に同じ長さをコンパスで写してA′をとる。直線A′Bとℓの交点がPです。
7. よくあるつまずき
つまずき1：弧の半径が短すぎて交わらない
垂直二等分線の作図では、半径をABの半分より長くしないと弧が交わりません。迷ったら、ABの長さの3分の2くらいを目安にコンパスを開くと失敗しません。
つまずき2：作図の跡を消してしまう
テストでは、コンパスでかいた弧（作図の跡）が「正しく作図した証拠」になります。きれいに見せようと消すと減点されることがあります。弧は残したまま提出しましょう。
つまずき3：垂直二等分線と垂線を混同する
垂直二等分線は「線分の真ん中」を通り、垂線は「指定された点」を通ります。手順が似ているので、何を通る線を引きたいのかを最初に確認しましょう。
8. 練習問題（解答つき）
問1 直線ℓ上の点Oを頂点とする135°の角を作図する手順を説明しなさい。
解答を見る
① 点Oを通るℓの垂線を作図する（180°の二等分で90°ができる）。
② 垂線とℓでできる2つの90°のうち一方を、角の二等分線で二等分して45°を作る。
③ もう一方の90°と、となりの45°を合わせると 90°＋45°＝135°。
問2 △ABCの辺BC上にあって、辺ABと辺ACから等しい距離にある点Pを作図するには、どうすればよいですか。
解答を見る
2辺AB、ACから等しい距離にある点は、∠BACの二等分線上にあります。
∠Aの二等分線を作図し、辺BCとの交点をPとする。
問3 円の一部（弧）だけが残っています。もとの円の中心を作図で求める方法を説明しなさい。
解答を見る
弧の上に3点A、B、Cをとります。弦ABと弦BCの垂直二等分線をそれぞれ作図し、その交点を中心とします。
中心は円周上のどの点からも等しい距離にあるので、中心はAとBから等しい距離、BとCからも等しい距離にあります。
作図の考え方を、問題で確かめよう
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