二等辺三角形と直角三角形 ― 定義・定理・逆と、直角三角形の合同条件
二等辺三角形は、中2の証明で「定義」と「定理」、そして「逆」の考え方を学ぶための中心になる図形です。直角三角形の合同条件も、じつは二等辺三角形の性質から導けます。この記事では、それぞれが成り立つ理由を証明で確かめながら、角度の問題と証明問題の両方に強くなることをめざします。
1. 二等辺三角形の「定義」と「定理」
中2の証明の単元では、ことばの意味をはっきり決めた定義と、定義から証明によって導かれた定理を区別します。二等辺三角形は、その練習にいちばん向いている図形です。
| 種類 | 内容 |
|---|---|
| 定義 | 2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。 |
| 定理1 | 二等辺三角形の2つの底角は等しい。 |
| 定理2 | 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。 |
等しい2辺の間の角を頂角、頂角に向かい合う辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といいます。「底」といっても図の下にあるとは限らず、図形を回すと上や横に来ることもあります。辺の長さの関係で決まることばだと覚えておきましょう。
ポイント
証明の根拠に書けるのは、定義と、すでに証明された定理です。「見た目で等しそう」は根拠になりません。
2. 底角が等しいことの証明
AB＝ACの△ABCで、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとします。
証明
△ABDと△ACDで、
仮定より AB＝AC ……①
ADは∠Aの二等分線なので ∠BAD＝∠CAD ……②
ADは共通 ……③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABD≡△ACD
合同な図形の対応する角は等しいので ∠B＝∠C
この合同からは、ほかにも大事なことがわかります。BD＝CD（対応する辺）なのでDは底辺の中点、∠ADB＝∠ADCで、2つの和は180°なのでどちらも90°です。これが定理2「頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する」の理由です。
つまり、二等辺三角形では次の4本の線がすべて同じ直線になります。
- 頂角の二等分線
- 頂点Aから底辺にひいた垂線
- 頂点Aと底辺の中点を結ぶ線（中線）
- 底辺の垂直二等分線
二等辺三角形は、この直線を軸とする線対称な図形です。高校で学ぶ三角形の五心（重心・外心・内心・垂心）も、二等辺三角形ではすべてこの直線上に並びます。
3. 二等辺三角形になるための条件（定理の逆）
「二等辺三角形ならば底角が等しい」の逆、「2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である」も正しい定理です。
その2つの角を底角とする二等辺三角形∠B＝∠C ならば AB＝AC
証明は、∠Aの二等分線ADをひき、△ABDと△ACDで「1組の辺（AD共通）とその両はしの角」を比べます。∠BAD＝∠CAD、さらに∠B＝∠Cと三角形の内角の和から∠ADB＝∠ADCが言えるので、1組の辺とその両はしの角がそれぞれ等しく、△ABD≡△ACDとなり、AB＝ACです。
この条件は、図形の中に二等辺三角形を見つけるときに大活躍します。平行線の錯角と角の二等分線が組み合わさると、等しい角が2つ並んで二等辺三角形が現れる、という形は入試の定番です。
注意：逆はいつも正しいとは限らない
「正三角形ならば二等辺三角形」は正しいですが、逆の「二等辺三角形ならば正三角形」は正しくありません。反例（成り立たない例）を1つ示せば、「正しくない」ことの説明になります。
4. 正三角形
3つの辺が等しい三角形が正三角形です。どの2辺を選んでも二等辺三角形になっているので、二等辺三角形の定理がどの頂点についても使えます。その結果、3つの角がすべて等しく、1つの角は60°になります（180°÷3）。
逆に、3つの角が等しい三角形は正三角形です。「2つの角が60°」とわかれば残りも60°なので、正三角形だと言えます。
5. 直角三角形の合同条件
直角三角形では、ふつうの3つの合同条件に加えて、次の2つが使えます。どちらも斜辺（直角に向かい合う辺）が等しいことが条件に入っているのが特徴です。
直角三角形の合同条件
- 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
- 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
斜辺と1つの鋭角の場合は、すぐに理由がわかります。直角と1つの鋭角が等しいので、残りの鋭角も180°−90°−（等しい角）で等しくなります。すると「1組の辺（斜辺）とその両はしの角」が等しくなり、ふつうの合同条件にあてはまります。
斜辺と他の1辺の場合は、2つの三角形を等しい辺（図3のAC）でぴったりつないでみます。∠ACB＋∠ACE＝90°＋90°＝180°なので、B・C・Eは一直線に並び、大きな△ABEができます。斜辺が等しいのでAB＝AE、つまり△ABEは二等辺三角形です。二等辺三角形の底角は等しいので∠B＝∠E となり、「斜辺と1つの鋭角」の条件に持ちこめます。
つまずき：「直角」を書き忘れる
直角三角形の合同条件を使うときは、証明の中で「∠C＝∠F＝90°」を必ず書きます。直角三角形であることが条件の前提だからです。また、「斜辺と1つの鋭角」は斜辺でない辺には使えません。
6. 例題
例題1（角度）
AB＝ACの二等辺三角形ABCで、∠A＝100°です。∠Bの大きさを求めなさい。また、辺BC上に BA＝BD となる点Dをとるとき、∠ADCの大きさを求めなさい。
底角は等しいので、∠B＝∠C＝(180°−100°)÷2＝40°。
△BADはBA＝BDの二等辺三角形なので、∠BAD＝∠BDA＝(180°−40°)÷2＝70°。
∠ADCは∠BDAのとなりの角なので、180°−70°＝110°。
例題2（二等辺三角形を見つける）
AD∥BCの台形ABCDで、∠Bの二等分線が辺ADと点Eで交わっています。AB＝6cmのとき、AEの長さを求めなさい。
AD∥BCより、錯角で∠AEB＝∠EBC。BEは∠Bの二等分線なので∠ABE＝∠EBC。よって∠ABE＝∠AEB。
2つの角が等しいので△ABEは二等辺三角形で、AE＝AB＝6cm。
「平行線＋角の二等分線→二等辺三角形」はとてもよく出る形です。
例題3（直角三角形の合同）
∠XOYの二等分線上の点Pから、2辺OX、OYに垂線PA、PBをひきます。PA＝PBであることを証明しなさい。
△POAと△POBで、
仮定より ∠PAO＝∠PBO＝90° ……①
OPは共通 ……②（斜辺）
OPは∠XOYの二等分線なので ∠POA＝∠POB ……③
①②③より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので △POA≡△POB
対応する辺は等しいので PA＝PB
「角の二等分線上の点は、角の2辺から等しい距離にある」という、作図や内心で使う大事な性質です。
7. 練習問題（解答つき）
問1 AB＝ACの二等辺三角形ABCで、∠B＝52°のとき、∠Aの大きさを求めなさい。
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∠C＝∠B＝52°なので、∠A＝180°−52°×2＝76°。
問2 二等辺三角形の頂角の外角が110°のとき、底角の大きさを求めなさい。
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頂角は180°−110°＝70°。底角は(180°−70°)÷2＝55°。
（三角形の外角は、となり合わない2つの内角の和なので、底角2つで110°、1つ55°と求めてもよい。）
問3 「二等辺三角形の2つの底角は等しい」の逆を書き、それが正しいかどうか答えなさい。
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逆：2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である。 これは正しい（3章の定理）。
問4 直角三角形の合同条件を2つ答えなさい。
解答を見る
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
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