三角比の基本 ― sin・cos・tan の意味から鈍角への拡張まで
三角比は、高校数学の図形分野で最初に出会う新しい道具です。sin・cos・tan という記号に身構えてしまう人も多いのですが、中身は「直角三角形の辺の比」にすぎません。この記事では定義の意味と覚え方から、有名角の値や3つの相互関係、90°を超える角への広げ方までを、なぜそうなるのかを中心に解説します。
1. 三角比は「形」を表す数
中学校で学んだ相似を思い出してください。直角三角形は、直角以外の角がひとつ決まれば形が決まります。形が同じなら大きさが違っても辺の比は変わりません。つまり角θが決まれば、辺の比はただ1通りに決まるのです。この「角から決まる比」に名前をつけたものが三角比です。
直角三角形の角θに注目して、3つの辺を次のように呼びます。θの向かい側にある辺が対辺、θをはさむ直角以外の辺が隣辺、直角の向かいにあるいちばん長い辺が斜辺です。
覚え方としてよく使われるのが、筆記体の頭文字をなぞる方法です。θを左下に置くと、s は斜辺から対辺へ、c は斜辺から隣辺へ、t は隣辺から対辺へと書き順が進みます。書き始めの辺が分母、書き終わりの辺が分子です。ただしこの覚え方は、図の向きがいつもと違うと混乱しがちです。最終的には「sinは高さの割合」「cosは横幅の割合」「tanは傾き」という意味で理解しておくと、どんな向きの図でも迷いません。
とくに tan θ が「傾き」だという見方は便利です。中学の一次関数で学んだ傾き（yの増加量÷xの増加量）と同じもので、坂道の勾配や見上げる角度の問題ではこれがそのまま使えます。
2. 有名角の三角比の値
30°・45°・60°の三角比は、計算せずにすぐ出せるようにしておきたい値です。丸暗記するよりも、三角定規の2つの形から読み取れるようにしておくと忘れにくくなります。
左の三角形は正三角形を半分に切った形なので、斜辺が2のとき底辺は1になります。高さは三平方の定理から √(2²−1²)＝√3 です。右の三角形は正方形を対角線で切った形で、斜辺は √2 です。この2つの図があれば、次の表はすべて自分で作れます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | なし |
表を縦ではなく横に眺めると、sin は角が大きくなるほど増え、cos は減っていくことがわかります。30°と60°では sin と cos の値が入れかわっています。これは偶然ではありません。直角三角形の2つの鋭角は足して90°なので、一方の角から見た対辺は、もう一方の角から見ると隣辺になるからです。式で書くと sin(90°−θ)＝cos θ、cos(90°−θ)＝sin θ となります。
なお 1/√2 は分母を有理化して √2/2、1/√3 は √3/3 と書くこともあります。答案ではどちらでも正解ですが、教科書や問題集によって表記が違うので、両方を見て同じ値だとわかるようにしておきましょう。
3. 三角比の相互関係
sin・cos・tan のうちどれか1つがわかれば、残りの2つも求められます。そのために使うのが次の3つの式です。
sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1
1 ＋ tan²θ ＝ 1／cos²θどれも直角三角形の定義と三平方の定理から導けます
なぜ成り立つのかを確かめておきましょう。斜辺を1とした直角三角形を考えると、高さが sin θ、横幅が cos θ になります。すると tan θ（高さ÷横幅）は sin θ÷cos θ です。さらに三平方の定理から（高さ）²＋（横幅）²＝1² なので、sin²θ＋cos²θ＝1 が出てきます。3つ目の式は、2つ目の式の両辺を cos²θ で割ったものです。
ポイント
3つ目の式は忘れても困りません。sin²θ＋cos²θ＝1 を cos²θ で割れば、その場で作れます。覚える式は少なく、作れる式を増やすのが三角比のコツです。
4. 鈍角への拡張（0°〜180°）
直角三角形の中では、θは0°より大きく90°より小さい角しか考えられません。しかし三角形の内角には鈍角もあります。そこで高校では、三角比の定義を座標を使った定義に置きかえて、0°から180°まで使えるようにします。
原点Oを中心とする半径1の半円を描きます。x軸の正の向きから反時計回りにθだけ回った位置にある半円上の点をPとします。このとき
と定めます。θが鋭角のときは、Pからx軸に垂線を下ろすと斜辺1の直角三角形ができるので、これまでの定義とまったく同じ値になります。新しい定義は、古い定義をそのまま延長したものなのです。
図のように θ＝120°のときは、Pからx軸に垂線を下ろすと60°の角をもつ直角三角形ができます。この三角形の辺の長さは 1/2 と √3/2 ですが、Pはy軸の左側にあるのでx座標は負になります。したがって cos 120°＝−1/2、sin 120°＝√3/2、tan 120°＝−√3 です。
この図から、鈍角の三角比について大切な性質がわかります。
- sin θ はPのy座標なので、0°〜180°ではつねに0以上です。
- cos θ はPのx座標なので、θが鈍角なら負になります。tan θ も鈍角なら負です。
- θ と 180°−θ の点はy軸について対称です。そのため sin(180°−θ)＝sin θ、cos(180°−θ)＝−cos θ が成り立ちます。
たとえば sin 150°＝sin 30°＝1/2、cos 135°＝−cos 45°＝−1/√2 のように、鈍角は鋭角に直して計算できます。相互関係の3つの式も、座標で定義し直したあとでそのまま成り立ちます（点Pが半径1の円上にあるので x²＋y²＝1 だからです）。
入試では、このあと学ぶ正弦定理や余弦定理で120°や135°などの鈍角がよく登場します。鈍角の cos が負になることを忘れると、辺の長さがまるで違う値になってしまうので注意しましょう。
5. 例題
例題1：1つの値から残りを求める
0°≦θ≦180°で、θは鈍角とします。sin θ＝1/3 のとき、cos θ と tan θ の値を求めなさい。
考え方：sin²θ＋cos²θ＝1 で cos θ を求めます。2乗をはずすと＋と−の2つが出てくるので、θが鈍角であることから符号を決めます。
cos²θ＝1−(1/3)²＝8/9。θは鈍角なので cos θ＜0 より、cos θ＝−2√2/3。
tan θ＝sin θ／cos θ＝(1/3)÷(−2√2/3)＝−1/(2√2)＝−√2/4
例題2：見上げる角から高さを求める
木から水平に20m離れた地点に立ち、目の高さ1.5mから木のてっぺんを見上げたところ、見上げる角（仰角）は30°でした。木の高さは約何mですか。√3＝1.73 として小数第1位まで求めなさい。
考え方：目の高さの水平線、木、視線で直角三角形を作ります。わかっているのは隣辺（20m）で、求めたいのは対辺なので tan を使います。
目の高さより上の部分は 20×tan 30°＝20/√3＝20√3/3 ≒ 20×1.73÷3 ≒ 11.53（m）。
これに目の高さを足して 11.53＋1.5＝13.03 より、約13.0m。
例題2のように「どの辺がわかっていて、どの辺を求めたいか」を見れば、使う三角比は自然に決まります。隣辺と対辺なら tan、斜辺と対辺なら sin、斜辺と隣辺なら cos です。
6. よくあるつまずき
つまずき1：分母と分子を逆にする
図の向きが変わると、どの辺が対辺なのか見失いがちです。まずθに印をつけ、「θの向かい側」「θのとなり」「直角の向かい側」の順に辺へ名前を書きこむと間違いが減ります。斜辺はいつも分母に来る（sin と cos の場合）ことも手がかりになります。
つまずき2：鈍角なのに cos を正にする
cos²θ から cos θ を求めるとき、√ をとった値をそのまま答えてしまうミスです。θの範囲を必ず確認し、鈍角なら cos θ と tan θ は負にします。sin θ は0°〜180°の範囲では負になりません。
つまずき3：sin²θ を sin θ² と混同する
sin²θ は (sin θ)² の意味で、角θを2乗するわけではありません。計算の途中で (sin θ)² と書き直すと、分配や代入のミスを防げます。
7. 練習問題（解答つき）
問1 0°≦θ≦180°で cos θ＝−3/5 のとき、sin θ と tan θ の値を求めなさい。
解答を見る
sin²θ＝1−(−3/5)²＝16/25。0°≦θ≦180°では sin θ≧0 なので sin θ＝4/5。
tan θ＝(4/5)÷(−3/5)＝−4/3
問2 sin 135°＋cos 150°×tan 120° の値を求めなさい。
解答を見る
sin 135°＝sin 45°＝√2/2、cos 150°＝−cos 30°＝−√3/2、tan 120°＝−√3。
cos 150°×tan 120°＝(−√3/2)×(−√3)＝3/2 なので、
与式＝√2/2＋3/2＝(3＋√2)/2
問3 0°≦θ≦180°で tan θ＝−2 のとき、cos θ と sin θ の値を求めなさい。
解答を見る
1＋tan²θ＝1/cos²θ より 1/cos²θ＝5、cos²θ＝1/5。tan θ＜0 なのでθは鈍角で、cos θ＜0。
cos θ＝−1/√5＝−√5/5。
sin θ＝tan θ×cos θ＝(−2)×(−√5/5)＝2√5/5（sin²θ＋cos²θ＝4/5＋1/5＝1 で検算できます）
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